Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Considerar las matrices: A = [ [ 0 , m , 3 ] , [ 1 , 0 , -1 ] , [ 5 , 1 , -(m+1) ] ] y B = [ [ 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ]

1. ¿Para qué valores reales de m es A inversible? Calcular la matriz$A^{-1}$(2 puntos).
2. En la anterior matriz A con m = 0, obtener la matriz real cuadrada X de orden 3 que satisface la igualdad B - AX = AB (1,3 puntos).

Problema 2

En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m², que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 euros. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide:

1. Obtener razonadamente la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x (1,3 puntos).
2. Deducir razonadamente el valor de x para que la función f(x) alcanza el valoe mínimo (2 puntos).

Problema 3

Las notas de Filosofía y Literatura de los 7 alumnos de una clase, listadas por columnas, son:

Filosofía	3	6	7	5	8	4	8
Literatura	5	8	7	7	9	5	5

1. Calcular el valor medio y la desviación típica de las notas de Filosofía y de las notas de Literatura (1,3 puntos)
2. Obtener el coeficiente de la correlación entre las notas de Filosofía y de Literatura, explicando su significado (0,7 puntos).
3. Al prescindir de la última columna el coeficiente de correlación es 0,9. Explicar detalladamente por qué es mayor que el obtenido en el apartado b). (1,3 puntos).

Problema 4

En el espacio R³, se consideran el punto P = ( 3 , 2 , 3 ) y la recta r intersección de los planos de ecuaciones: x + 3y -4z= 0 y x +2y -2z = 1. Se pide determinar:

1. La distancia d del punto P a la recta r (1,3 puntos).
2. Los puntos M y N de la recta r que cumplan que su distancia al punto P es √5 d (1,3 puntos).
3. El área del triángulo de vértices P, M y N (0,7 puntos).

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Ejercicio B

Problema 1

Se consideran las matrices cuadradas reales de orden 2, P = [ [ 1 , 2 ], [ 2 , 3 ] ] y Q = [ [ 2 , 0 ] , [ 0 , 3 ] ].

Calcular:

1. La matriz P^-1 (1,1 puntos).
2. La matriz real cuadrada X de orden 2, tal que P^-1 XP = Q (1,1 puntos).
3. La matriz (PQP^-1)² (1,1 puntos).

Problema 2

1. Representar la superficie S limitada entre el eje OX y la curva y = x² - 4, cuando -2 ≤ x ≤ 2. Obtener, razonadamente, mediante una integral el área de la superficie S (1,6 puntos).
2. Hallar el volumen del cuerpo generado al dar un giro completo alrededor del eje OX la superficie S considerada en el apartado anterior, indicando cómo se ha obtenido el volumen (1,7 puntos).

Problema 3

El peso medio de un grupo de 500 estudiantes es de 68,5 kilos y la desviación típica, 10 kilos.

Suponiendo que los pesos siguen una distribución normal, se pide:

1. ¿Cuántos estudiantes pesan entre 48 y 71 kilos? (1punto).
2. ¿Cuántos estudiantes pesan más de 91 kilos? (1 punto).
3. Se eligen 5 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos pesen más de 75 kilos? (1,3 puntos).

Problema 4

Sean π y π' los planos del espacio R³, determinados del modo siguiente:

El plano π pasa por los puntos ( 0 , 2 , 1 ) , ( 3 , -1 , 1 ) y ( 1 , -1 , 5 ) y el plano π' pasa por los puntos ( 3 , 0 , 2 ) , ( 2 , 1 , 1 ) y ( 5 , 4 , -2 ). Se pide calcular:

1. Una ecuación para métrica de la recta r intersección de los planoos π y π' (1,3 puntos).
2. El ángulo α que forman los planos π y π' (0,7 puntos).
3. La ecuación del plano que contiene a la recta r y forma un ángulo de 90 grados con el plano π (1,3 puntos).