Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Tenim el sistema d'equacions lineals {λx + 2z = 0; λy - z = λ; x + 3y + z = 5}, que depèn del paràmetre real λ. Es demana:

1. Determineu per a quins valors de λ el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat i incompatible (1,3 punts)
2. Obtineu-ne les solucions en els casos següents: compatible determinat i compatible indeterminat (2 punts)

Problema 2

1. Dibuixeu la recta d'equació y = (2 / π) x y la corba d' equació y = sin x quan -π / 2 ≤ x ≤ π ⁄ 2; indiqueu raonadament, per càlcul integral, l'àrea limitada entre la recta i la corba (1,6 punts).
2. Calculeu la integral del producte de les dues funcions considerades en l'apartat anterior, és a dir, ∫(2 / π)x sin x dx, i indiqueu quins passos heu seguit (1'7 punts).

Problema 3

La taula següent mostra l'alçada (en metres) i el pes (en quilos) d'un grup de 8 treballadors d'una empresa:

Alçada	1,75	1,58	1,80	1,50	1,65	1,75	1,85	1,63
Pes	78	75	90	68	78	84	89	80

Les variables alçada i pes estan fortament correlacionades, i el seu coeficient de correlació és 0,9197.

1. Calculeu, mitjançant regressió lineal, el pes d'un treballador amb 1,72 metres d'alçada (1,7 punts).
2. Calculeu, mitjançant regressió lineal, l'alçada d'un treballador amb 80 quilos de pes (1,6 punts).

Problema 4

Tenim que r i r' són les rectes de l'espai $R^3$, determinades de la manera següent: r passa pels punts A = (3 , 6 , 7) i B = (7 , 8 , 3) i r' és la recta intersecció dels plans d' equacions: x - 4y - z = -10 i 3x - 4y + z = -2. Calculeu:

1. De cadascuna de les rectes r i r', una equació paramètrica i determineu la posició relativa de les dues (1 punt).
2. La distància d entre les rectes r i r' (1,3 punts).
3. L'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C, on C és un punt qualsevol de la recta r' (1 punt).

---

Exercici B

Problema 1

Calculeu les matrius reals quadrades d'ordre 3, X i Y, que satisfan les equacions següents: {2X + Y = B; X - 2Y = C} on B = [[ 1 , 0 , 1 ] , [ 0 , 1 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 ]] i C = [[ 1 , -1 , 0 ] , [ -1 , 1 , 1 ] , [ 1, 1 , 1 ]] (1,8 punts).

Si X i Y són les matrius anteriors, calculeu la matriu (2X + Y) X - (2X + Y) (2Y) (1,5 punts).

Problema 2

Tenim que T és un triangle de perímetre 60 cm. Un dels costats del triangle T té x cm, i els altres dos costats tenen la mateixa longitud.

1. Obteniu raonadament les expressions de les funcions A i ƒ, sent:

   A(x) = Àrea del triangle T.

   ƒ(x) = ${\left\{A\right(x\left)\right\}}^2$ (1,3 punts).

   Obteniu també entre quins valors pot variar x.

2. Obteniu raonadament el valor de x per al qual ƒ(x) aconsegueix el valor màxim (2 punts).

Problema 3

Un dau amb les cares numerades del 1 al 6 és llançat cinc vegades. Obteniu la probabilitat que el número 3 aparega:

NOTA: Tots els números tenen la mateixa probabilitat d'eixir en cada llançament.

1. Exactament dues vegades (1 punt).
2. Una vegada com a màxim (1 punt).
3. Més de dues vegades (1, 3 punts).

Problema 4

Tenim que r és la recta i π el pla de $R^3$, determinats de la manera següent: r passa pels punts (2 , 2 , 4) i (-1 , 2 , 1) i π passa pels punts (1, 0, 1) , (1, -1, 0) i (3, 0, 0). Es demana:

1. Demostreu que la recta r no és paral·lela a π (1 punt).
2. Calculeu el punt P d'intersecció de r i π i l'angle que formen la recta r i el pla π (1 punt).
3. Determineu els punts S i T de la recta r que complisquen que la seua distància a π siga 4 (1,3 punts).