Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Dada la siguiente ecuación matricial:

[[3,-2] , [-2,1] , [0 , 1]] ·[[x] , [y]] + [[x] , [y] , [z]] = [[-10] , [6] , [3]]

Obtener de forma razonada los valores de x , y , z.

Problema 2

Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6000 minutos al mes y para el de la máquina de 4800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcular éste.

Problema 3

Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene dado por y = 50 - x , donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x - 10, determinar de forma razonada el precio de x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido.

Problema 4

En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50% de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no.

1. Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela
2. Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca.

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Ejercicio B

Problema 1

El 75% de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60% de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden andando. Calcular de forma razonada:

1. si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando,y
2. si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual.

Problema 2

Debo tomar al menos 60 mgr de vitamina A y al menos 90 mgr de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mgr de vitamina A y 15 mgr de vitamina B y cada pastilla de la marca Y contiene 10 mgr de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada:

1. Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo, y
2. Cuál es el coste mínimo.

Problema 3

Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado, y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3,25 €. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.

Problema 4

Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo.