Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Dadas las matrices reales: A = [[5 , 8] , [9 , 4]], B = [[1 , 1 , -1] , [2 , -3 , 2]], C = [[2 , -1] , [-3 , 2] , [1 , 4]], D = [[3 , 7] , [1 , 2]], se pide:

1. Calcular la matriz M = A - 2·B·C. (1 punto).
2. Justificar que existe la matriz D^-1 inversa de D y calcular tal matriz. (0,9 puntos).
3. Calcular las matrices X, Y que cumplen D·X = M = Y·D. (1,4 puntos).

Problema 2

Las tallas de los ciudadanos adultos de una gran ciudad siguen una distribución normal de media 1,70 y desviación típica 0,20.

1. Se selecciona al azar un ciudadano. Averigua razonadamente cuál es la probabilidad de que su talla sea superior a 1,95. (1,5 puntos).
2. Se selecciona al azar otro ciudadano entre los de talla superior a 1,65. Averigua razonadamente cuál es la probabilidad de que su talla sea superior a 1,95. (1,8 puntos).

Problema 3

Consideremos los planos π₁: x + y - 6 = 0 ; π₂: 2x + 4y + λz + 2 = 0 donde λ es un parámetro real. Se pide:

1. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos π₁ y π₂ cuando λ = 4 (1,5 puntos).
2. Calcular razonadamente λ para que los planos π₁ y π₂ se corten formando un ángulo de 45º (1,8 puntos).

Problema 4

Sea f(x) = x³ + ax³ + bx + c. Hallar a, b y c sabiendo que f alcanza un máximo en x = -4 y un mínimo en x = 0 y que f(1) = 1.

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Ejercicio B

Problema 1

Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x + y + z = λ ; 2x + 3y + 5z = 2 ; 3x + 5y + λ²z = 1 }, dependiente del parámetro λ, se pide:

1. Determinar para qué valores de λ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos).
2. Obtener el conjunto S de las soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado. (1 punto).
3. Obtener el vector de S ortogonal (perpendicular) al vector (1 , 1 , 2). (1 punto).

Problema 2

Dado el plano definido por la ecuación π: 8x - 4y + z = 3, hallar:

1. La ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P(1 , -3 , 7), expresada como la intersección de dos planos. (1 punto).
2. La distancia del punto P al plano π. (0,8 puntos).
3. Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano π. (1,5 puntos).

Problema 3

Un agente comerical consigue, por término medio, vender sus productos al 40% de los clientes que visita. Selecciona al azar cinco de sus clientes para visitarlos cierto día. Averigua razonadamente:

1. La probabilidad de que no venda sus productos a ninguno de esos cinco clientes. (1,1 puntos).
2. La probabilidad de que venda sus productos sólo a dos de esos cinco clientes. (1,1 puntos).
3. La probabilidad de que venda sus productos sólo a cuatro de esos cinco clientes. (1,1 puntos).

Problema 4

Calcular, razonadamente, el área de la región limitada por las curvas y = x² e y = 2/(1+x²).