Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Per a cada terna de nombres reals (x , y , z), es consideren las matrius A = [ [ x , y , z ] , [1 , 1 , -1] , [3 , 5 , 5] ] , B = [ [2 , x , 1] , [1 , y , -1] , [2 , z , -1] ]

1. Calculeu els determinants de les matrius A i B. (1 punt)
2. Per a x = y = z = 1, calculeu el determinant de la matriu producte A·B. (0,3 punts)
3. Obteniu, raonadament, per quins valors de x, y, z, cap de les matrius A i B té inversa. (2 punts)

Problema 2

Si teniu els punts A = (1 , -2 , 3) y B = (0 , 2 , 1), es demana:

1. L'equació de la recta que passa per ambdós punts. (1,1 punts)
2. L'equació del pla π que està a igual distància de A i de B. (1,1 punts)
3. La distància a l'origen de la recta intersecció del pla 2y - z = 0 amb el pla π de l'apartat b). (1,1 punt)

Problema 3

Les hores d'estudi i les qualificacions en Matemàtiques de set alumnes han sigut:

	1r	2n	3r	4t	5é	6é	7é
Hores d'estudi	17	17,5	13	17	17,5	15	4
Matemàtiques	8	9	6	7	8	6	2

1. Trobeu el coeficient de correlació entre les qualificacions en Matemàtiques i les hores d'estudi d'estos alumnes. (0,5 punts)
2. Expliqueu el significat del coeficient de correlació.(1 punt)
3. Expliqueu raonadament con s'estima la qualificació en Matemàtiques que obtindría un alumne en estudiar 20 hores. (1,8 punts)

Problema 4

Trobeu el valor positiu de a perquè INT(x +1 , x , 0 , a-1) = 9 / 2. (2 punts). Obteniu, raonadament, la integral que dóna l'area de la superficie compresa entre l'eix 0X, la corba y = x + 1 i les rectes x = 0 i x = 2. (1,3 punts).

---

Exercici B

Problema 1

Per a cada nombre real λ, M(λ) és la matriu M(λ)= [ [ 4 , 3 , λ] , [2 , 1 , 2] , [λ , λ , -1] ]. Es demana que:

1. Obtingueu l'expressió del determinant de la matriu M(λ), i justifiqueu que per a qualsevol nombre real λ existeix la matriu M(λ)^-1 inversa de M(λ). (1,3 punts)
2. Calculeu la matriu M(λ)^-1. (1 punt).
3. Si A = M(8), B = M(4) y C = M(3), calculeu, raonadament, el determinant de la matriu producte A·B^-1·C^-1. (1 punt).

Problema 2

1. Trobeu la distància del punt P = (3 , -1 , 4) a la recta r intersecció dels plans: (1,8 punts)

   π₁: 2x + y - z + 5 = 0

   π₂: 4x + 4y - z + 9 = 0

2. Trobeu l'equació del pla que passa per la recta r i el punt P. (1,5 punts).

Problema 3

Considereu les funcions definides per a x ≥ 0, f(x ) = arcsen(x/√(1+x²)) y g(x) = arccos(1/√(1++x²)). Calculeu f'(x) y g'(x) i expresseu-les de la manera més simplificada possible (2 punts).

Compareu els resultats i deduïu justificadament la diferència entre f(x) y g(x). (1,3 punts).

Problema 4

El 20% dels habitants d'una gran ciutat voten el partit polític B. Se selecciona a l'atzar tres habitants i es demana calcular raonadament:

1. La probabilitat que els tres voten el partit B. (1 punt)
2. La probabilitat que ningú vote el partit B. (1 punt)
3. La probabilitat que solament un vote el partit B. (1,3 punts).

Nota. El nombre d'habitants és tan gran que sempre es pot considerar que després de seleccionar un, dos o tres ciutadans, un 20% dels no seleccionats són els que voten el partit B.