Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Para cada terna de números reales (x , y , z), se consideran las matrices A = [ [ x , y , z ] , [1 , 1 , -1] , [3 , 5 , 5] ] , B = [ [2 , x , 1] , [1 , y , -1] , [2 , z ,- 1] ]

1. Calcular los determinantes de las matrices A y B. (1 punto).
2. Para x = y = z = 1, calcular el determinante de la matriz producto A·B. (0,3 puntos).
3. Obtener, razonadamente, para qué valores de x, y, z, ninguna de las matrices A y B tiene inversa. (2 puntos).

Problema 2

Dados los puntos A = (1 , -2 , 3) y B = (0 , 2 , 1), se pide:

1. La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. (1,1 puntos).
2. La ecuación del plano π que está a igual distancia de A y de B. (1,1 puntos).
3. La distancia al origen de la recta de la intersección del plano 2y - z = 0 con el plano π del apartado b). (1,1 puntos).

Problema 3

Las horas de estudio y las calificaciones en Matemáticas de siete alumnos han sido:

	1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º
Horas de estudio	17	17,5	13	17	17,5	15	4
Matemáticas	8	9	6	7	8	6	2

1. Halla el coeficiente de correlación entre las calificaciones en Matemáticas y las horas de estudio de esos alumnos. (0,5 puntos).
2. Explica el significado del coeficiente de correlación. (1 punto).
3. Explica razonadamente cómo se estima la calificación en Matemáticas que obtendría un alumno a estudiar 20 horas. (1,8 puntos)

Problema 4

Hallar el valor positivo de a para que INT ( x +1 , x , 0 , a-1 ) = 9 / 2. (2 puntos). Obtener, razonadamente, la integral que da el área de la superficie comprendida entre el eje 0X, la curva y = x + 1 y las rectas x = 0 y x = 2. (1,3 puntos).

---

Ejercicio B

Problema 1

Para cada número real λ , M(λ) es la matriz M(λ) = [ [4 , 3 , λ] , [2 , 1 , 2] , [λ , λ , -1] ]. Se pide:

1. Obtener el determinante de la matriz M(λ), y justificar que para cualquier número real λ existe la matriz M(λ)^-1 inversa de la matriz M(λ). (1,3 puntos).
2. Calcula la matriz M(0)^-1 (1 punto).
3. Si A = M(8), B = M(4) y C = M(3), calcúlese, razonadamente, el determinante de la matriz producto A·B^-1·C^-1. (1 punto).

Problema 2

1. Hallar la distancia del punto P = (3 , -1 , 4) a la recta r interseccion de los planos: (1,8 puntos)

   π₁ : 2x + y - z + 5 = 0

   π₂: 4x + 4y - z + 9 = 0

2. Hallar la ecuacion del plano que pasa por la recta r y el punto P. (1,5 puntos).

Problema 3

Considerar las funciones definidas para x ≥ 0, f(x) = arcsen(x/√(1+x_²)) y g(x) = arccos(1/√(1+x²)). Calcular f'(x) y g'(x). (2 puntos).

Compara los resultados y deducir justificadamente la diferencia entre f(x) y g(x). (1,3 puntos).

Problema 4

EL 20% de los habitantes de una gran ciudad votan al partido político B. Se seleccionan al azar tres habitantes y se pide calcular razonadamente:

1. La probabilidad de que los tres voten al partido B. (1 punto).
2. La probabilidad de que ninguno vote al partido B. (1 punto).
3. La probabilidad de que solamente uno vote al partido B. (1,3 puntos).

Nota. El número de habitantes es tan grande que siempre se puede considerar que después de seleccionar uno dos o tres ciudadanos se tiene que un 20% de los no seleccionados son los que votan al partido B.