Exercici A
Problema 1
Calcular el valor de λ pel que té infinites solucions el sistema: {
x + y - z = 0 ; 2x + y + z = 0 ; λx + y = 0 }
Obtindre totes les solucions corresponents a ese valor de λ i
interpretar geomètricament perquè el sistema té infinites solucions.
Problema 2
Es llançen cinc monedes simètriques a l'aire. Calcular:
- La probabilitat de no obtindre ninguna cara.
- La probabilitat d'obtindre una cara.
- La probabilitat d'obtindre més d'una cara.
Problema 3
Considera les rectes r: { x = y = z } y r': { y = 5 ; z = 0 } Comprova que
els punts O= (0 , 0 , 0) i A = (1 , 1 , 1) pertanyen a la
recta r, i que els punts B = (0 , 5 , 0) i C = (10 , 5 , 0) pertanyen a la
recta r'. Calcula la distància entre les dues rectes.
Explica la relació entre el producte mixte dels vectors OA = i + j + k = (1 , 1 , 1), BC i OB, el producte
vectorial de OA i BC
i la distància entre les rectes r i r'.
Problema 4
Es divideix un fil de 100 metres en dos troços de longituts x i y. Amb el
troç de longitut x es forma un quadrat i amb el de longitud y es forma un
rectangle, el costat major del qual medix el doble que el costat menor. Troba
x i y per a que la suma de les àrees del quadrat i del rectangle siga màxima.
Ídem per que siga mínima.
Exercici B
Problema 1
Obtindre la distància del punt (0 , 0 , 7) al pla determinat pels punts (0
, 0 , 0), (0 , 2 , 2) i (2 , 0 , 2).
Problema 2
Obtindre en funció de λ les solucions del sistema { -x + y + z = 3 +
λ ; x - 3y = -2 ; -x + 3z = 2 }
Explica la relació entre el conjunt de solucions obtingudes i la
intersecció dels plans π2: x - 3y = -2 y
π3: -x + 3z = 2
Problema 3
L'estatura d'una població es distribuiex normalment amb una mitjana d'1,70
i desviació típica 0,1. Es seleccionen a l'atzar quatre persones i es demana
quina es la probabilitat de que una , i tan sols una d'elles, medisca més d '
1,72 cm. Determinar també quina és la probabilitat de que al menys dos de les
quatre persones seleccionades medisquen més d'1,72 cm.
Problema 4
Al girar l'elipse x2 / a2 + y2 / 9 = 1
entorn a l'eix OX engendra una superfície que tanca una figura pareguda a un
ou, anomenat el·lipsoide. Troba el volum de l'el·lipsoide.
Si el punt (a , 0) es desplaça cap a la dreta de manera que a = 5 + 3t,
obtindre la funció derivada del volum del l'el·lipsoide respecte a t,
explicant el seu significat.
Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis
universitaris