Ejercicio A
Problema 1
Calcular el valor de λ para el que tiene infinitas soluciones el
sistema: { x + y - z = 0 ; 2x + y + z = 0 ; λx + y = 0 }
Obtener todas las soluciones correspondientes a ese valor de λ e
interpretar geométricamente por qué el sistema tiene infinitas soluciones.
Problema 2
Se lanzan cinco monedas simétricas al aire. Calcular:
- La probabilidad de no obtener ninguna cara.
- La probabilidad de obtener una cara.
- La probabilidad de obtener más de una cara.
Problema 3
Considera las rectas r: { x = y = z } y r': { y = 5 ; z = 0 } Comprueba
que los puntos O= (0 , 0 , 0) y A = (1 , 1 , 1) pertenecen a
la recta r, y que los puntos B = (0 , 5 , 0) y C = (10 , 5 , 0) pertenecen a
la recta r'. Obtén la distancia entre esas dos rectas.
Explica la relación entre el producto mixto de los vectores OA = i + j + k = (1 , 1 , 1) , BC y OB, el producto
vectorial de OA y BC
y la distancia entre las rectas r y r'.
Problema 4
Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes x e y. Con el
trozo de longitud x se forma un cuadrado y con el de longitud y se forma un
rectángulo cuyo lado mayor mide el doble que el lado menor. Hallar x e y para
que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máxima. Ídem para
que sea mínima.
Ejercicio B
Problema 1
Obtener la distancia del punto (0 , 0 , 7) al plano determinado por los
puntos (0 , 0 , 0), (0 , 2 , 2) y (2 , 0 , 2).
Problema 2
Obtener en función de λ las soluciones del sistema { -x + y + z = 3
+ λ ; x - 3y = -2 ; -x + 3z = 2 }
Explica la relación entre el conjunto de soluciones obtenidas y la
intersección de los planos π2: x - 3y = -2 y
π3: -x + 3z = 2
Problema 3
La estatura de una población se distribuye normalmente con media 1,70 y
desviación típica 0,1. Se seleccionan al azar cuatro personas y se pide cual
es la probabilidad de que una , y sólo una, de ellas mida más de 1,72 cm.
Determinar también cuál es la probabilidad de que al menos dos de las cuatro
personas seleccionadas midan más de 1,72 cm.
Problema 4
Al girar la elipse x2 / a2 + y2 / 9 = 1
alrededor del eje OX engendra una superficie que encierra una figura parecida
a un huevo, llamada elipsoide. Hallar el volumen de este elipsoide.
Si el punto (a , 0) se desplaza hacia la derecha de manera que a = 5 + 3t,
obtener la función derivada del volumen del elipsoide respecto a t,
explicando su significado.
Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios
universitarios