Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Ejercicio A

Problema 1

Expliqueu la relació entre l'equació x² + y² = 1 i la característica geomètrica de la corba que representa.

Trobeu l'equació de la corba obtinguda transformant cada punt (x , y) de la corba x² + y² = 1 en el punt (x' , y') tal que x' = ax i y' = by. Representeu la corba obtinguda, indicant el seu nom i els seus elements més notables.

Problema 2

Descomposeu un segment de longitud 20 metres en quatre parts per a obtenir el paral·lelògram d'àrea més gran possible.

Problema 3

El 30% dels vissos d'una gran remesa són defectuosos. Si es trien tres vissos a l'atzar calculeu:

1. La probabilitat de que els tres siguen defectuosos.
2. La probabilitat de que només dos siguen defectuosos.
3. La probabilitat de que només un siga defectuós.
4. La probabilitat de que cap siga defectuós.

Problema 4

Resoleu els sistemes { 2x + y = 1 ; x - y = 0 } i { 2x + y = 0 ; x - y =1 } i trobeu la relació entre les solucions anteriors i les solucions anteriors i les solucions del sistema { 2x + y = a ; x - y = b } justificant la relació obtinguda, emprant matrius o qualsevol altre mètode.

---

Exercici B

Problema 1

Siga r₁ la recta que passa pels punts A = (0 , 0 , 0) i B = (0 , 1 , 0), i siga r₂ la recta que passa per C = (0 , 0 , 5) i D = (a , 7 , 5).

Calculeu la distància entre r₁ y r₂, tot interpretant geomètricament la dependència o independència del resultat obtingut respecte al paràmetre a.

Problema 2

Calculeu l'àrea del recinte S limitat per l'eix OX, la corba y = + x^1/2, quan 0 ≤ x ≤ 1, i la recta x = 1.

Calculeu el volum de la figura obtinguda quan S fa una volta completa al voltant de l'eix OX.

Problema 3

En cert país els tipus d'interés i l'índex de la Borsa en els darrers sis messos venen donats a la taula:

Tipus d'interés	8%	7.5%	7.2%	6%	5.5%	5%
Índex de la Borsa	120	130	135	142	150	165

Trobeu l'índex previst de la Borsa en el seté mes, suposant que el tipus d'interés en eixe mes és 4,1% tot analitzant la fiabilitat de la predicció, segons el valor del coeficient de correlació.

Problema 4

Estudieu, segons els valors del paràmetre λ, el sistema d'equacions lineals: { x - y + λz = λ ; x + λy - z = λ ; y + λz = λ }.

No és necessari resoldre el sistema per a cap valor de λ.