Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Les bases d'un paral·lelepíped són ABCD i EFGH, on A = (2,3,1), B = (4,3,1), C = (2,7,1) i E = (8,0,0). Es demana:

1. Coordenades de D, F, G i H.
2. Volum del paral·lelepíped.
3. Alçada del paral·lelepíped.

Problema 2

Un punt material recorre la paràbola y² = 8x - 9. Determineu raonadament en quina posició la distància al punt de l'origen (0,0) és mínima.

Problema 3

Joan sap que els seus amics no acudeixen de vegades a les seues invitacions, i ha estimat que la probabilitat de què un dels seus amics acudisca a una invitació seua és 0,8. Per això, per al seu aniversari va invitar a 10 amics, pero sols va preparar 8 coberts:

1. Quina és la probabilitat que es presenten menys de 8 amics?
2. Quina és la probabilitat que es presenten 8 amics?
3. Quina és la probabilitat que es presenten més de 8 amics?

Problema 4

Una matriu quadrada A verifica que A² + 3A = I, sent I la matriu unitat. Troba raonadament el valor de la incògnita x en l'equació A = A+ x I

Obté la inversa de la matriu dels coficients del sistema { x + y = 4 ; x - y = 2} i resol el sistema utilitzant aquesta matriu inversa.

---

Exercici B

Problema 1

Dedueix raonadament en quins casos els plans π₁ i π₂ són o no paral·les:

1. π₁: x - y + 2z = 8; π₂: 2x - 2y + 3z = 16
2. π₁: x - y + 2z = 8; π₂: 2x - 2y + 4z = 8
3. π₁: x - y + 2z = 8; π₂: 2x - 2y + 4z = 16

Calcula la distància entre π₁ i π₂ quan siguen paral·les.

Problema 2

Justifica que l'equació d'una circumferència de centre (0,0) i radi 5 és x² + y² = 25. Dedueix el volum de la figura limitada per la superfície que genera aquesta circumferència quan gira una volta completa al voltant de l'eix OX.

Problema 3

Un estudi sociològic proporcionà la següent taula:

Nivell d'estudis	1	2	3	4	5
Salari mitjà	100	250	400	450	700

Calcula el coeficient de correlació lineal entre el nivell d'estudis i el salari mínim i, en funció del valor obtingut, explica si es pot considerar que el salari mitjà està bastant determinat pel nivell d'estudis (1 = estudis primaris, 2 = estudis secundaris, 3 = formació professional, 4 = tècnics de grau mitjà, 5 = tècnics superiors, 6 = doctors).

Dedueix el salari mínim esperat per al nivell d'estudis 6.

Problema 4

Resol el sistema { x + y + z = 2 ; 2x + z = 2 ; 4x + 2z = 4 }. Suposem que S és el conjunt de solucions obtingut i que:

• S₁ és el conjunt de solucions de x + y + z = 2.
• S₂ és el conjunt de solucions de 2x + z = 2
• S₃ és el conjunt de solucions de 4x + 2z = 4

Raona quines de les següents afirmacions són vertaderes o falses

1. S₁ ∩ S₂ ⊂ S₃
2. S₂ = S₃
3. S₂ ∩ S₃ ⊂ S
4. S₁ ∩ S₃ = S