Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercício A

Problema 1

Los planos: π: x + y + z =4, π': x - z = 0, π'': x + y = 3 tienen un único punto en común. Se pide:

1. Determinarlo.
2. Hallar las ecuaciones de las rectas en que cada uno de esos planos corta a x = 0.
3. Volumen del tetraedro limitado por esos tres planos y el plano x = 0.

Problema 2

Representar la función f(x) tal:

f(x) = x + 6, si x ∈[ -6 , -3 ]
f(x) = 3, si x ∈[ -3 , 3 ].
f(x) = 6 - x, si x ∈[ 3 , 6 ].

Hallar el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representar la función f' (x).

Problema 3

El peso en kilogramos de los adultos de un pueblo sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 4. Si seleccionan al azar 3 habitantes de ese pueblo, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos pesen más de 74 kilogramos?

Problema 4

Encontrar una matriz X que verifique AX + B = C, siendo:

A= [ [ 1 , 0 , 0 ] , [1 , 2 , 0 ] , [ 1 , 2 , 4 ] ]

B= [ [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 ,1 ] ]

C= [ [ 3 , 0 , 0 ] , [ 2 , 5 , 2 ] , [ 0 , 1 , 3 ] ]

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Ejercicio B

Problema 1

Idee un método que sin resolver el sistema le permita averiguar si la recta 3x + 4y - 8 = 0 es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x - 3)² + (y - 6)² = 25. Razone la respuesta.

Problema 2

Hallar la base x y la altura y de una cartulina rectagular de perímetro 60 cm que al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical genere un cilindro de volumen máximo.

Problema 3

Una urna contiene 2 bolas rojas y 3 bolas negras. Se extraen sucesivamente 3 bolas, devolviendo la bola a la urna después de cada extracción, y se representa por x el número de las bolas rojas obtenidas.

Calcular las cuatro probabilidades cuando x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3.

Calcula la suma de las cuatro probabilidades anteriores y justifica el valor de la suma obtenida.

Problema 4

Considera el sistema de ecuaciones { x + y + 2z = 3 , x + 2y + 3z = 5 , x + 3y + mz = 7 } Determina:

1. El valor de m para que el sistema tenga soluciones. Para ese valor de m calcula todas las soluciones del sistema.
2. Los valores de m para los que el sistema carece de solución.