Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Supongamos que el sistema de referencia OXYZ tiene el eje OZ vertical y el plano OXY es horizontal. Se considera la varilla vertical de extremos A = (2 , 1 , 0) y B = (2 , 1 , 12). En dos momentos determinados del día la sombra que proyecta A sobre el plano XOY coincide con los puntos (7 , 0 , 0) y (0 , 6 , 0). Obtener:

1. Ecuaciones de la recta que describe la sombra de A a lo largo del día.
2. Calcula la longitud más corta de la sombra a lo largo del día.

Problema 2

Una partícula recorre la curva y = -x² + 10x - 25 de manera que en el tiempo t segundos ocupa la posición x = t e y = -t² + 10t - 25. Al llegar al instante t = 5 segundos se escapa por la tangente a la curva recorriendo diez unidades de longitud en cada segundo en la dirección positiva del eje OX, es decir hacia la derecha.

Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos.

Problema 3

El salario semanal y el gasto en electricidad de seis personas en miles de pesetas es:

salario semanal	4	6	8	10	12	20
gasto en electricidad	0,2	0,3	0,5	0,9	1	0,9

Obtener la recta de regresión del gasto de electricidad en función del salario semanal. Estimar el gasto en electricidad para un salario semanal de 15 miles de pesetas.

Problema 4

Resuelve el sistema { x + y + z = 7 ; -x + 2y + z = 5 ; 2x - y + az = 2} sólo en el caso en el que el sistema tenga infinitas soluciones. En ese caso interpreta geométricamente el significado de cada ecuación y del sistema.

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Ejercicio B

Problema 1

Hallar el vértice C del triángulo ABC sabiendo que A = (4 , 3), B = (12 , 9), que los lados AC y BC tienen la misma longitud y que su área es 25.

Problema 2

Se divide un alambre de longitud 100 en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determinar las longitudes de esos trozos para que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea máxima

Problema 3

Las calificaciones de cierto examen han seguido una distribución normal con media 6 y desviación típica 0,5. Si se seleccionan dos alumnos al azar, calcular:

1. La probabilidad de que los dos hayan obtenido calificaciones inferiores a 5.
2. La probabilidad de que los dos hayan obtenido calificaciones superiores a 6,75.
3. La probabilidad de que uno haya obtenido calificación inferior a 5 y el otro haya obtenido calificación superior a 6,75.
4. Suma las tres probabilidades anteriores y justifica el resultado de la suma

Problema 4

Sea A una matriz que verifica A² + A = 0, siendo 0 la matriz nula. Demostrar que la matriz A es regular y obtener una expresión sencilla de su inversa A^-1 en función de la matriz A y de la matriz identidad I.

Halla la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema { 2x + y = 1 ; x - y = 2 }

Resuelve el anterior sistema de ecuaciones con la matriz inversa hallada