Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Obteniu la mínima distància entre dos partícules A i B amb posicions donades per (x_A , y_A , z_A) = t (1 , 2 , 0), i (x_B , y_B , z_B) = (2 , -4 , 7) + t (-2 , 3 , 0) on t és el temps en segons.

Calculeu la mínima distància entre les rectes r≡ (x , y , z) = t (1 , 2 , 0) i s: (x , y , z) = (2 , 3 , 7) + t (-2 , 3 , 0).

Justifiqueu la no coincidència dels dos resultats anteriors.

Problema 2

Area del lòbul limitat per la paràbola y = x² - 2x - 10 i la recta x - y + 8 = 0.

Problema 3

Una màquina produeix contínuament una peça la longitud de la qual ha d'estar compresa entre 15,30 i 15,36 cm. Totes les peces no tenen la mateixa longitud degut a la variabilitat normal de qualsevol procés productiu continu. Per això la longitud de les peces segueix una distribució normal amb mitjana 15,34 cm i desviació típica 0,02 cm. Calculeu el tant percent de peces que tenen longitud compresa entre 15,30 i 15.36 cm.

Problema 4

Trobeu el conjunt de solucions del sistema { x + y - 3z = 0 ; 2x + 6y + 2z = 0 ; x + 13y +21z = 2 } i interpreteu geomètricament el resultat.

---

Ejercici B

Problema 1

Suposem que A = (2 , 3), B = (7 , 6), C = (5 , 10) i D són els quatre vértex d'un paral·lelògram.

1. Esbrineu les coordenades del vèrtex D.
2. Trobeu la relació entre la suma dels quadrats de les longituts dels quatre costats del paral·lelògram i la suma dels quadrats de les longituts de les diagonals.

Problema 2

A l'instant t = 0 el mòbil A està situat en (100 , 0) i el mòbil B es troba al punt (0 , 50). Ambdós comencen un moviment uniforme amb velocitats v_A = -3 i i v_B = 2 i - j. Determineu l'instant i les posicions per a les que la distància entre ambdós mòbils és mínima.

Problema 3

A la taula apareixen en milers de milions la producció industrial dels últims sis anys i les importacions en maquinària industrial.

Producció industrial	105	120	125	130	140	154
Importació maq. indus.	22	33	45	50	65	67

Estima la importació de maquinària industrial quan la producció industrial siga de 175 milers de milions.

Problema 4

Considereu la matriu A= [ [0 , 3 , 4] , [1 , -4 , -5] , [-1 , 3 , 4] ]. Demostreu que A³ + I = 0, on I és la matriu identitat i O és la matriu nul·la. Calculeu de forma raonada A¹⁰.

Calculeu la inversa de la matriu dels coeficients del sistema { 2x + y = 1 ; x - y = 2 }.

Resol el anterior sistema de equacions amb la matriu inversa calculada.