Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Obtener la mínima distancia entre dos partículas A y B cuyas posiciones vienen dadas por (x_A , y_A , z_A) = t (1 , 2 , 0), y (x_B , y_B , z_B) = (2 , -4 , 7) + t (-2 , 3 , 0), siendo t el tiempo en segundos.

Calcular la mínima distancia entre las rectas r: (x , y , z) = t (1 , 2 , 0) y s: (x , y , z) = (2 , 3 , 7) + t (-2 , 3 , 0).

Justificar la no coincidencia de los dos resultados anteriores.

Problema 2

Área del lóbulo limitado por la parábola y = x² - 2x - 10 y la recta x - y + 8 = 0.

Problema 3

Una máquina produce continuamente una pieza cuya longitud debe estar comprendida entre 15,30 y 15,36 cm. Todas las piezas no tienen la misma longitud debido a la variabilidad normal de cualquier proceso productivo continuo. Por ello la longitud de las piezas sigue una distribución normal con media 15,34 cm y desviación típica 0,02 cm. Averigua el tanto por ciento de piezas que tienen longitud comprendida entre 15,30 y 15,36 cm.

Problema 4

Encuentra el conjunto de soluciones del sistema { x + y - 3z = 0 ; 2x + 6y + 2z = 0 ; x + 13y + 21z = 2 } e interpreta geométricamente el resultado.

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Ejercicio B

Problema 1

Supongamos que A = (2 , 3), B = (7 , 6), C = (5 , 10) y D son los cuatro vértices de un paralelogramo.

1. Averigua las coordenadas del vértice D.
2. Halla la relación entre la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados del paralelogramo y la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales.

Problema 2

En el instante t = 0 el móvil A está situado en (100 , 0) y el móvil B se halla en el punto (0 , 50). Ambos comienzan un movimiento uniforme con velocidades v_A = -3 i y v_B = 2 i - j. Determinar el instante y las posiciones para las que la distancia entre ambos móviles es mínima.

Problema 3

En la tabla aparecen en miles de millones la producción industrial de los últimos seis años y las importaciones en maquinaria industrial.

Producción industrial	105	120	125	130	140	154
Importación maq. indus.	22	33	45	50	65	67

Estima la importación de maquinaria industrial cuando la producción industrial sea de 175 miles de millones.

Problema 4

Consideremos la matriz A= [ [0 ,3 , 4] , [1 , -4 , -5] , [-1 , 3 , 4] ]. Demostrar que A³ + I = 0, siendo I la matriz identidad y la O la matriz nula. Calcula razonadamente A¹⁰.

Halla la inversa a la matriz de los coeficientes del sistema { 2x + y = 1 ; x - y = 2 }.

Resuelve el anterior sistema de ecuaciones con la matriz inversa hallada.